Méthodes pratiques d'analyse 1

Niveau terminal S ou ES

Cet enseignement complète la formation de la première année en mathématiques générales. L'objectif est de ma?triser les techniques d’intégration et la résolution de certaines équations différentielles. On mettra l'accent sur la ma?trise des calculs.

Partie I - Calcul intégral.
? Rappels sur les primitives d'une fonction continue sur un intervalle I (On admettra qu'une fonction continue possède des primitives), primitives usuelles ;
? Intégrale sur [a,b] d'une fonction continue (on définira l'intégrale de f sur [a,b] comme F(b)-F(a), où F est une primitive de f). Interprétation géométrique ;
? Propriétés élémentaires (linéarité, positivité de l'intégrale, relation de Chasles), formule de la moyenne. Intégration par parties. Changement de variable ;
? Formule de Taylor avec reste intégral.

Partie II - ?quations différentielles.
? Rappels sur les équations différentielles linéaires du premier ordre, principe de superposition, méthode de la variation de la constante ;
? ?quations non linéaires du premier ordre à variables séparables. Principe de recollement en un point ;
? ?quations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants et à second membre de type exponentielle-polyn?me.

Partie III - Intégrales impropres.
? Convergence et divergence d'une intégrale impropre. Cas d'un intervalle borné, d'un intervalle non borné. Propriétés élémentaires ;
? Exemples fondamentaux d'intégrales impropres (Riemann) ;
? Résultats de convergence pour une fonction positive par comparaison (majorant, équivalent, négligeable). Convergence absolue ;
? Changement de variable, intégration par parties ;
? Intégrales doublement généralisées.

Cet enseignement complète la formation de la première année en mathématiques générales. L'objectif est de ma?triser les techniques d’intégration et la résolution de certaines équations différentielles. On mettra l'accent sur la ma?trise des calculs.